Родился 5 апреля 1930 года в Москве. В 1943 году начал заниматься в изостудии Дворца культуры Московского автозавода. В 1949 году окончил Московское высшее художественно-промышленное училище (бывшее Строгановское), отделение по художественной обработке металла. Основам гравюры на дереве его обучали Д.Г. Соболев, академик И.Н. Павлов и профессор М.В. Маторин. Освоив эту технику, Калашников позднее создавал обложки музыкальных изданий, почтовые открытки, марки, занимался работой в аналогичных областях. отделение по художественной обработке металла.

Сначала Калашников работал художником-конструктором на Московском автозаводе, но вскоре перешёл в издательство «Советский писатель», где занял должность художественного редактора.

В 1953 году он оставляет штатную работу и сотрудничает во многих московских издательствах. В 1957 году ему предложили выполнить гравюру для конверта, посвящённого VI Всемирному фестивалю молодёжи и студентов. После удачного исполнения заказа Анатолий Калашников ушёл с постоянной работы.

В начале 60-х гг. он создал ошеломляющую серию абстрактных иллюстраций для коллекционного издания произведений Ф.М. Достоевского «Сюита о Достоевском». Гравюры вызвали восхищение, но так и не были опубликованы издательством, которое посчитало их «опережающими время».

Анатолий Калашников создал более 1000 гравюр, включая несколько эпических тематических серий «Война и мир», «Золотое кольцо России» (более 100 гравюр), а также 1050 экслибрисов и ряд почтовых марок, конвертов и открыток.

Первый экслибрис был сделан Калашниковым в 1964 году. В дальнейшем свои экслибрисы он выполнил для многих любителей книг СССР, Англии, Италии, Швейцарии, Австрии, Чехословакии, Финляндии, Бельгии.

Графические работы художника представлены в Британском музее, а также в некоторых музеях и картинных галереях бывшего СССР.

Анатолий Калашников — автор ряда почтовых марок и блоков СССР с 1962 по 1990 год. Первая его марка вышла в январе 1962 года к 125-летию со дня смерти А. С. Пушкина. Работая над рисунком марки, посвящённой XXIII съезду КПСС, Анатолий Калашников сделал около 15 ксилографий-эскизов, из которых оставил только одну. По итогам совершённой им в 1966 году поездки по Казахстану и Киргизии художник-график создал рисунки вышедшей в ноябре 1968 года серии из четырёх марок «Курорты СССР».

К 1985 году Калашников выполнил способом многоцветной гравюры на дереве 67 марок и около 500 художественных конвертов. В том же году была издана книга «Почтовая марка и художник» (автор — А. Н. Котырев), посвящённая его творчеству. В книге были приведены каталожные данные о филателистических материалах, изготовленных по его дизайнам, а также иллюстрации, воспроизведенные с авторских оригиналов.

Работы художника использовались для дизайна журнальных обложек, в частности, журнала «Филателия СССР». Создавая почтовые марки, Анатолий Калашников со временем и сам стал филателистом.

Умер 21 апреля 2007 года.